申请监外执行，应该由罪犯本人或者其亲属、监护人向监狱、看守所提出，并提交书面申请。监狱、看守所应当组织进行病情诊断等鉴别，并进行审议，如果决定提请暂予监外执行的，进行公示，并提请批准机关批准。法律依据：《暂予监外执行规定》第八条对在监狱、看守所服刑的罪犯需要暂予监外执行的，监狱、看守所应当组织对罪犯进行病情诊断、妊娠检查或者生活不能自理的鉴别。罪犯本人或者其亲属、监护人也可以向监狱、看守所提出书面申请。第十三条监狱、看守所应当就是否对罪犯提请暂予监外执行进行审议。经审议决定对罪犯提请暂予监外执行的，应当在监狱、看守所内进行公示。对病情严重必须立即保外就医的，可以不公示，但应当在保外就医后3个工作日以内在监狱、看守所内公告。第十四条批准机关应当自收到监狱、看守所提请暂予监外执行材料之日起15个工作日以内作出决定。第十五条监狱、看守所应当向罪犯发放暂予监外执行决定书，及时为罪犯办理出监、出所相关手续。
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